Chứng minh với x,y>0 , thỏa mãn xy ≥1

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 23239:

Chứng minh $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}} ,$ với x,y>0 , thỏa mãn xy ≥1

A. Click để xem lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:23239

Giải chi tiết

(1) <=> $\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\geq 0$

<=> $\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0$

<=> $\frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}-\frac{\sqrt{y}(\sqrt{y}-\sqrt{x})}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0$

<=> $(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}})(\frac{\sqrt{x}}{1+x}-\frac{\sqrt{y}}{1+y})\geq 0$

<=> $(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}})(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}-x\sqrt{y}}{(1+x)(1+y)})\geq 0$

<=> $\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+ \sqrt{xy})(1+x)(1+y))}\geq 0$

Bắt đẳng thức cuối cùng đúng do $\sqrt{xy}\geq 1$ . Đẳng thức xảy ra <=> x = y hoặc xy = 1

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link