Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c\) với \(a,b,c\)

Câu hỏi số 235682:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a+b+c\).

A. \(P=24\)

B. \(P=12\)

C. \(P=18\)

\(P=46\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235682

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.

Giải chi tiết

Tính \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\left( x+1 \right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{x\left( x+1 \right)}\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right)}}\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\Rightarrow dt=\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \right)dx=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}dx=\frac{tdx}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=\frac{2dt}{t}\)

Suy ra \(I=\int\limits_{1+\sqrt{2}}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\frac{2dt}{{{t}^{2}}}}=\left. -\frac{2}{t} \right|_{1+\sqrt{2}}^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-2\left( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}+1} \right)=\sqrt{32}-\sqrt{12}-2\)

Do đó \(a=32;b=12;c=2\Rightarrow a+b+c=46\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.