Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin

Câu hỏi số 235685:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\) có nghiệm thực ?

A. 5

B. 7

C. 3

D. 2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235685

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.

- Sử dụng phương pháp xét hàm để tìm \(m\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\Leftrightarrow m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}={{\sin }^{3}}x\).

Đặt \(\sqrt[3]{m+3\sin x}=u\Rightarrow m+3\sin x={{u}^{3}}\) thì phương trình trên trở thành \(m+3u={{\sin }^{3}}x\)

Đặt \(\sin x=v\) thì ta được

\(\left\{ \begin{align} & m+3v={{u}^{3}} \\ & m+3u={{v}^{3}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow 3\left( v-u \right)+\left( v-u \right)\left( {{v}^{2}}+uv+{{u}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left( v-u \right)\left( 3+{{v}^{2}}+uv+{{u}^{2}} \right)=0\)

Do \(3+{{v}^{2}}+uv+{{u}^{2}}>0,\forall u,v\) nên phương trình trên tương đương \(u=v\).

Suy ra \(\sqrt[3]{m+3\sin x}=\sin x\Leftrightarrow m={{\sin }^{3}}x-3\sin x\).

Đặt \(\sin x=t\left( -1\le t\le 1 \right)\) và xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{3}}-3t\) trên \(\left[ -1;1 \right]\) có \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3\le 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\)

Nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ -1;1 \right]\Rightarrow -1=f\left( 1 \right)\le f\left( t \right)\le f\left( -1 \right)=2\Rightarrow -2\le m\le 2\).

Vậy \(m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.