Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C

Câu hỏi số 235699:

Vận dụng cao

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng

\(\frac{11}{630}.\)

B. \(\frac{1}{126}.\)

C. \(\frac{1}{105}.\)

D. \(\frac{1}{42}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235699

Phương pháp giải

+) Xếp số học sinh lớp 12C trước, tạo ra các khoảng trống, sau đó xếp các học sinh lớp 12A và 12B vào các vị trí trống đó.

+) Tính số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi của biến cố, sau đó tính xác suất của biến cố.

Giải chi tiết

Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lượt là A, B, C.

Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hành ngang là 10! (cách) \(\Rightarrow \left| \Omega \right|=10!\)

Ta xếp 5 học sinh lớp 12C trước.

TH1: \(C-C-C-C-C-\) (quy ước vị trí của – là vị trí trống), đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! Cách xếp.

Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí trống ta có 5! cách xếp. Vậy trường hợp này có 5!.5! cách.

TH2: \(-C-C-C-C-C\), tương tự như trường hợp 1 ta có 5!.5! cách.

TH3: \(C-C-C-C--C\), đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! Cách xếp.

Ta có 2 vị trí trống liền nhau, chọn 1 học sinh lớp 12A và 1 học sinh lớp 12B để xếp vào 2 vị trí trống đó, 2 học sinh này có thể đổi chỗ cho nhau nên có \(C_{2}^{1}.C_{3}^{1}.2!=2.3.2=12\) cách. Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 chỗ trống có 3! Cách.

Vậy trường hợp này có 5!.12.3! cách.

TH4: \(C-C-C--C-C\)

TH5: \(C-C--C-C-C\)

TH6: \(C--C-C-C\)

Ba trường hợp 4, 5, 6 có cách xếp giống trường hợp 3.

Vậy có tất cả 5!.5!.2 + 4.5!.12.3! = 63360 (cách)

Gọi T là biến cố “Xếp 10 học sinh thành hàng ngang sao cho không có học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau” \(\Rightarrow \left| A \right|=63360\)

Vậy xác suất của biến cố T là \(P\left( T \right)=\frac{63360}{10!}=\frac{11}{630}\)