Cho \(a,b,c>1\). Biết rằng biểu thức \(P={{\log }_{a}}(bc)+{{\log }_{b}}(ac)+4{{\log }_{c}}(ab)\) đạt

Câu hỏi số 236518:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c>1\). Biết rằng biểu thức \(P={{\log }_{a}}(bc)+{{\log }_{b}}(ac)+4{{\log }_{c}}(ab)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi \({{\log }_{b}}c=n\). Tính giá trị \(m+n\).

A. \(m+n=12\).

B. \(m+n=\frac{25}{2}\).

C. \(m+n=14\).

D. \(m+n=10\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236518

Phương pháp giải

Đặt \({{\log }_{a}}c=x,\,\,{{\log }_{b}}c=y,\,\,{{\log }_{a}}b=z\,\,\,(x,\,y,\,\,z>0\,\,do\,\,a,\,b,\,c>1)\,\,\,\Rightarrow x=yz\) để tìm GTNN của \(P\Rightarrow m+n\)

Giải chi tiết

Đặt \({{\log }_{a}}c=x,\,\,{{\log }_{b}}c=y,\,\,{{\log }_{a}}b=z\,\,\,(x,\,y,\,\,z>0\,\,do\,\,a,\,b,\,c>1)\,\,\,\Rightarrow x=yz\)

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}(bc) + {\log _b}(ac) + 4{\log _c}(ab)\\ = {\log _a}b + {\log _a}c + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + {\log _b}c + 4.\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}c}} + \frac{1}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\ = z + x + \frac{1}{z} + y + \frac{4}{x} + \frac{4}{y}\\ = \left( {z + \frac{1}{z}} \right) + \left( {x + \frac{4}{x}} \right) + \left( {y + \frac{4}{y}} \right)\mathop \ge \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} 2 + 4 + 4 = 10\end{array}\)

\({P_{\min }} = 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\x = 2\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\log _b}c = y = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 10\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 12\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.