Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\bot (ABCD)\), ABCD là hình chữ nhật. \(SA=AD=2a\). Góc giữa (SBC) và mặt

Câu hỏi số 236523:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\bot (ABCD)\), ABCD là hình chữ nhật. \(SA=AD=2a\). Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD) là \({{60}^{0}}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Thể tích khối chóp S.AGD là

A. \(\frac{32{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\).

B. \(\frac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\).

C. \(\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\).

D. \(\frac{16{{a}^{3}}}{9\sqrt{3}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236523

Phương pháp giải

- Biểu diễn được góc giữa (SBC) và (ABCD).

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

- Lập tỉ số thể tích giữa các khối chóp\(S.AGD\) và \(S.ADI\), giữa các khối chóp \(S.ADI\) và \(S.ABCD\). Từ đó tính thể tích khối chóp S.AGD.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\(SBC) \cap (SAB) = SB \bot BC\\(ABCD) \cap (SAB) = AB \bot BC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\widehat {(SBC);(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {AB;SB}} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}\end{array}\)

Tam giác SAB vuông tại A: \(\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}\Leftrightarrow \tan {{60}^{0}}=\frac{2a}{AB}\Rightarrow AB=\frac{2a}{\sqrt{3}}\)

Thể tích khối chóp S.ABCD: \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.AB.AD=\frac{1}{3}.2a.\frac{2a}{\sqrt{3}}.2a=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}\)

Ta có: \(\frac{{{V}_{S.AGD}}}{{{V}_{S.AID}}}=\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}\) (vì G là trọng tâm tam giác SBC)

Mà \(\frac{{{V}_{S.AID}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{S}_{AID}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.AGI}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.AGI}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{27}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.