Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\bot (ABCD)\), ABCD là hình chữ nhật. \(SA=AD=2a\). Góc giữa (SBC) và mặt

Câu hỏi số 236523:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\bot (ABCD)\), ABCD là hình chữ nhật. \(SA=AD=2a\). Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD) là \({{60}^{0}}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Thể tích khối chóp S.AGD là

A. \(\frac{32{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\).

B. \(\frac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}\).

C. \(\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\).

D. \(\frac{16{{a}^{3}}}{9\sqrt{3}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236523

Phương pháp giải

- Biểu diễn được góc giữa (SBC) và (ABCD).

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

- Lập tỉ số thể tích giữa các khối chóp\(S.AGD\) và \(S.ADI\), giữa các khối chóp \(S.ADI\) và \(S.ABCD\). Từ đó tính thể tích khối chóp S.AGD.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\(SBC) \cap (SAB) = SB \bot BC\\(ABCD) \cap (SAB) = AB \bot BC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\widehat {(SBC);(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {AB;SB}} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}\end{array}\)

Tam giác SAB vuông tại A: \(\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}\Leftrightarrow \tan {{60}^{0}}=\frac{2a}{AB}\Rightarrow AB=\frac{2a}{\sqrt{3}}\)

Thể tích khối chóp S.ABCD: \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.AB.AD=\frac{1}{3}.2a.\frac{2a}{\sqrt{3}}.2a=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}\)

Ta có: \(\frac{{{V}_{S.AGD}}}{{{V}_{S.AID}}}=\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}\) (vì G là trọng tâm tam giác SBC)

Mà \(\frac{{{V}_{S.AID}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{S}_{AID}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.AGI}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.AGI}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}=\frac{8\sqrt{3}{{a}^{3}}}{27}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.