Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2x+m-1=0\). Lập phương trình ẩn y thỏa mãn

Câu hỏi số 237257:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2x+m-1=0\). Lập phương trình ẩn y thỏa mãn \({{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\) với \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình ở trên.

A. \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}=0\)

B. \(\left( 1-m \right){{y}^{2}}-2my+{{m}^{2}}=0\)

C. \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}-2my+{{m}^{2}}=0\)

D. \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}+2my-{{m}^{2}}=0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237257

Phương pháp giải

Áp dụng điều kiện để phương trình có hai nghiệm. Sử dụng định lí Vi – ét. Tính tổng và tích theo ẩn y, từ đó tìm phương trình ẩn y thỏa mãn tổng và tích đã tìm được.

Giải chi tiết

\(\Delta '={{1}^{2}}-1.(m-1)=2-m\)

Phương trình có 2 nghiệm \({{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\) \(\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow 2-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 2\)

Áp dụng định lí Vi – et, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1\)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{align} & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=-2+\frac{-2}{m-1}=\frac{2m}{1-m}\,\,\,(m\ne 1) \\ & {{y}_{1}}{{y}_{2}}=\left( {{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}} \right)\left( {{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+2=m-1+\frac{1}{m-1}+2=\frac{{{m}^{2}}}{m-1}\,\,\,(m\ne 1) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{y}_{1}};\ {{y}_{2}}\) là nghiệm của phương trình: \({{y}^{2}}-\frac{2m}{1-m}y+\frac{{{m}^{2}}}{m-1}=0\ \ \left( m\ne 1 \right).\)

Phương trình ẩn y cần lập là: \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}=0\ \ \left( m\ne 1;\ m\le 2 \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link