Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2x+m-1=0\). Lập phương trình ẩn y thỏa mãn \({{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\) với \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình ở trên.

Câu 237257: Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2x+m-1=0\). Lập phương trình ẩn y thỏa mãn \({{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\) với \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình ở trên.

A. \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}=0\)

B. \(\left( 1-m \right){{y}^{2}}-2my+{{m}^{2}}=0\)

C. \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}-2my+{{m}^{2}}=0\)

D. \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}+2my-{{m}^{2}}=0\)

Câu hỏi : 237257

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện để phương trình có hai nghiệm. Sử dụng định lí Vi – ét. Tính tổng và tích theo ẩn y, từ đó tìm phương trình ẩn y thỏa mãn tổng và tích đã tìm được.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\Delta '={{1}^{2}}-1.(m-1)=2-m\)

Phương trình có 2 nghiệm \({{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\) \(\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow 2-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 2\)

Áp dụng định lí Vi – et, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1\)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{align} & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=-2+\frac{-2}{m-1}=\frac{2m}{1-m}\,\,\,(m\ne 1) \\ & {{y}_{1}}{{y}_{2}}=\left( {{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}} \right)\left( {{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+2=m-1+\frac{1}{m-1}+2=\frac{{{m}^{2}}}{m-1}\,\,\,(m\ne 1) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{y}_{1}};\ {{y}_{2}}\) là nghiệm của phương trình: \({{y}^{2}}-\frac{2m}{1-m}y+\frac{{{m}^{2}}}{m-1}=0\ \ \left( m\ne 1 \right).\)

Phương trình ẩn y cần lập là: \(\left( m-1 \right){{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}=0\ \ \left( m\ne 1;\ m\le 2 \right).\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây