Cho hàm số \(f\left( x \right)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\). Tập các giá tri của x để \(2xf'\left( x

Câu hỏi số 237485:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\). Tập các giá tri của x để \(2xf'\left( x \right)-f\left( x \right)\ge 0\) là:

A. \(\left[ \frac{1}{\sqrt{3}};+\infty \right)\)

B. \(\left( \frac{1}{\sqrt{3}};+\infty \right)\)

C. \(\left( -\infty ;\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)

D. \(\left[ \frac{2}{\sqrt{3}};+\infty \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237485

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\), sau đó thay vào và giải bất phương trình.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Rightarrow 2x\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) - \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\dfrac{{2x - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(x + \sqrt {{x^2} + 1} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge - x\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - x < 0\\\left\{ \begin{array}{l} - x \ge 0\\{x^2} + 1 \ge {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} + 1} \ge 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2x - \sqrt {{x^2} + 1} \ge 0\) \( \Leftrightarrow 2x \ge \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3{x^2} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \(x \ge \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.