Cho hàm số \(y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}}}\)

Câu hỏi số 237496:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}}}\) với \(x\in \left( 0;\pi \right)\) có y’ bằng biểu thức có dạng \(a.\sin \frac{x}{8}\). Khi đó a nhận giá trị nào sau đây:

A. \(\frac{1}{4}\)

B. \(\frac{-1}{4}\)

C. \(\frac{1}{8}\)

D. \(\frac{-1}{8}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237496

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức nhân đôi rút gọn biểu thức của hàm số ban đầu.

+) Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp để tính đạo hàm của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos x} \right) = \frac{1}{2}.2{\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} = \left| {\cos \frac{x}{2}} \right|\end{array}\)

Vì \(x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \frac{x}{2} \in\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \cos \frac{x}{2}>0\,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x}=\cos \frac{x}{2}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}}}\)

Tương tự ta chứng minh được \(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}}=\cos \frac{x}{4}\Rightarrow y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}}=\cos \frac{x}{8}\)

\(\Rightarrow y'=\left( \cos \frac{x}{8} \right)'=-\sin \frac{x}{8}.\left( \frac{x}{8} \right)'=-\frac{1}{8}\sin \frac{x}{8}\Rightarrow a=-\frac{1}{8}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.