Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây MN có độ dài bằng bán kính R của đường tròn, M
Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây MN có độ dài bằng bán kính R của đường tròn, M thuộc cung AN. Các tia AM và BN cắt nhau ở I, dây AN và BM cắt nhau ở K. Với vị trí nào của dây MN thì diện tích tam giác IAB lớn nhất? Tính diện tích đó theo bán kính R.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Dựa vào công thức tính diện tích tam giác, đưa 1 cạnh cố định và tìm điều kiện để cạnh còn lại lớn nhất, từ điều kiện đó ta tìm vị trí của dây MN.
Gọi H là chân đường cao kẻ từ I đế cạnh AB.
Khi đó ta có: \({{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}IH.AB.\)
Ta có AB là đường kính \(\Rightarrow {{S}_{IAB}}\ \ Max\Leftrightarrow IH\ Max\Leftrightarrow \) H trùng với O.
Khi H trùng với O thì OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác \(\Rightarrow \Delta IAB\) cân tại I.
Lại có \(\frac{MN}{AB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta ABC\).
\(\Rightarrow MN//BC.\)
Xét \(\Delta MON\) có \(MO=ON=OM=R\Rightarrow \Delta MON\) là tam giác đều.
Tam giác IAB cân tại I có MN là đường trung bình \(\Rightarrow \) M và N lần lượt là trung điểm của AI và BI.
Lại có O là trung điểm của AB \(\Rightarrow OM;\ \ ON\) cũng là hai đường trung bình của tam giác IAB.
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & ON//IM \\ & OM//IN \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) tứ giác IMON là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo OI và MN vuông góc với nhau \(\left( do\ MN//AB;\ \ OI\bot AB \right).\)
\(\Rightarrow IMON\) là hình thoi \(\Rightarrow MI=IN=OM=R\Rightarrow IA=2IM=2R.\)
Xét tam giác AOI vuông tại O ta có: \(OI=\sqrt{I{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-{{R}^{2}}}=R\sqrt{3}.\)
\(\Rightarrow {{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}OI.AB=\frac{1}{2}.R\sqrt{3}.2R={{R}^{2}}\sqrt{3}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
