Cho tam giác đều \(ABC\) tâm \(O\) có cạnh bằng \(a\). Dựng ba đường tròn ngoại tiếp các tam
Cho tam giác đều \(ABC\) tâm \(O\) có cạnh bằng \(a\). Dựng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(OAB,OBC,OCA\) chúng đôi một cắt nhau tạo thành hình hoa thị 3 cánh. Diện tích hình hoa thị khi \(a=\sqrt{6}\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Hình hoa thị gồm 6 hình viên phân bằng nhau. Do đó, cần tìm diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung \(\overset\frown{AO}\) và đoạn AO.
Giả sử AH là đường cao của tam giác ABC, ta có:
\(AH=AB.\sin {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
Vì O là tâm của tam giác đều ABC nên O đồng thời là
trọng tâm, trực tâm… của tam giác nên ta có:
\(AO=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
Tam giác ABC là tam giác đều nên ta có:
\(\left\{ \begin{align} & OI=OB \\ & \widehat{OAB}=\widehat{OBA}={{30}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{AOB}={{120}^{0}}.\)
Lại OI là đường trung trực của AB do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO.
\(\Rightarrow AIBO\) là hình thoi \(\Rightarrow BA\) là phân giác của \(\widehat{IAO}\Rightarrow \widehat{IAO}=2.\widehat{BAO}={{2.30}^{0}}={{60}^{0}}\).
\(\Rightarrow \Delta AIO\) là tam giác đều cạnh \(AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{AIO}={{60}^{0}}.\)
\(\Rightarrow {{S}_{AIO}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.\)
Ta có: \({{S}_{quat\ IAO}}=\frac{\pi I{{O}^{2}}{{.60}^{0}}}{{{360}^{0}}}=\frac{\pi }{6}.{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{18}.\)
\(\Rightarrow {{S}_{vp\ AO}}={{S}_{q\ \ IAO}}-{{S}_{\Delta AIO}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{18}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{36}{{a}^{2}}.\)
Với \(a=\sqrt{6}\Rightarrow {{S}_{vp\ AO}}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{36}{{\left( \sqrt{6} \right)}^{2}}=\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{6}.\)
Diện tích hình hoa thị cần tính là: \(S=6{{S}_{vp\ OA}}=6.\frac{2\pi -3\sqrt{3}}{6}=2\pi -3\sqrt{3}\ \ \left( dvdt \right).\)
Đáp án cần chọn là: D
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
