Các nghiệm của phương trình \(2\left( 1+\cos x \right)\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)=\frac{\sin x-1}{\sin

Câu hỏi số 237754:

Vận dụng

Các nghiệm của phương trình \(2\left( 1+\cos x \right)\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)=\frac{\sin x-1}{\sin x+\cos x}\) được biểu diễn với bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác ?

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237754

Phương pháp giải

Đưa phương trình trên về phương trình tích sau đó giải phương trình và tìm các điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Giải chi tiết

ĐK : \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + \cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne - \cos x\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne - 1\\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(\begin{array}{l}2\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\sin x - 1} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x + 2\cos x - \sin x + \sin x\cos x + 1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x + \sin x\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x + \cos x + \sin x\cos x + 1 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {ktm\,\,x \ne k\pi } \right)\end{array}\)

Giải (2) : Đặt \(\sin x+\cos x=t\,\,\left( t\ne 0;t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right] \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Leftrightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\)

Thay vào (2) ta có : \(t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1\,\,\left( tm \right)\)

Với t = - 1 ta có

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \pi + k2\pi \,\,\left( {ktm\,\,x \ne k\pi } \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

Có 1 điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.