Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ta có: \(S{{M}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\)
\(S{{M}^{2}}=M{{N}^{2}}+S{{N}^{2}}-2MN.SN\cos {{60}^{0}}\)
\(\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}+S{{N}^{2}}-2.2a.SN.\frac{1}{2}\Leftrightarrow S{{N}^{2}}-2aSN+{{a}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( SN-a \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow SN=a\)
\(SH=SN\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2};MP=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
\(HN=SN\cos {{60}^{0}}=\frac{a}{2}\Rightarrow HO=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\)
Ta có: \(\frac{OM}{HM}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\) nên \(d\left( O;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SMP \right) \right)\)
\(PN=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.\) Mà \(\frac{KH}{PN}=\frac{MH}{MN}\)
\(\Rightarrow KH=\frac{MH}{MN}.PN=\frac{\frac{3a}{2}}{2a}a\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
\(\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{S}^{2}}}+\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}}\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{5}}{10}\)
\(\Rightarrow d\left( O;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}IH=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{5}}{10}=\frac{a\sqrt{5}}{5}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
