Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ta có: \(S{{M}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\)
\(S{{M}^{2}}=M{{N}^{2}}+S{{N}^{2}}-2MN.SN\cos {{60}^{0}}\)
\(\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}={{\left( 2a \right)}^{2}}+S{{N}^{2}}-2.2a.SN.\frac{1}{2}\Leftrightarrow S{{N}^{2}}-2aSN+{{a}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( SN-a \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow SN=a\)
\(SH=SN\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2};MP=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
\(HN=SN\cos {{60}^{0}}=\frac{a}{2}\Rightarrow HO=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}\)
Ta có: \(\frac{OM}{HM}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\) nên \(d\left( O;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SMP \right) \right)\)
\(PN=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.\) Mà \(\frac{KH}{PN}=\frac{MH}{MN}\)
\(\Rightarrow KH=\frac{MH}{MN}.PN=\frac{\frac{3a}{2}}{2a}a\sqrt{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}\)
\(\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{S}^{2}}}+\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}}\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{5}}{10}\)
\(\Rightarrow d\left( O;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SMP \right) \right)=\frac{2}{3}IH=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{5}}{10}=\frac{a\sqrt{5}}{5}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
