Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên \(AA'\bot \left( ABC
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên \(AA'\bot \left( ABC \right),\,\,AA'=a\sqrt{2}.\) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A’C’. Tính diện tích thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua MN và vuông góc với \(mp\left( BCC'B' \right).\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Áp dụng phương pháp xác định thiết diện của mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C',\,\,BC.\)
Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(EC',\,\,BF.\)
Suy ra \(NP\)//\(A'E\); \(MQ\)//\(AF\) mà
\(\left\{ \begin{array}{l}A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\\AF \bot \left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( {MNPQ} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right).\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kéo dài \(MQ\) cắt \(AC\) tại \(G\).
Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) nối \(NG\) cắt \(AA'\) tại \(H\).
Do đó, \(mp\,\,\left( \alpha \right)\) cắt hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) theo thiết diện là ngũ giác \(MHNPQ.\)
Ta có : \({S_{MNHPQ}} = {S_{HMN}} + {S_{MNPQ}}\).
Ta có \(MNPQ\) là hình bình hành có \(\angle MQP = {90^0}\), do đó \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Mặt khác \(NP = MQ = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4};\) \(PQ = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a}}{2}.\)
\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = MQ.PQ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AMH = \Delta A'NH\) (hai cạnh góc vuông) nên \(HM = HN\), suy ra \(\Delta HMN\) cân tại \(H\).
Ta có : \(HM = \sqrt {A{H^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(K\) là trung điểm \(MN\) ta có \(HK \bot MN\) và \(MK = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}PQ = \dfrac{{3a}}{4}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(HMK\) ta có :
\(HK = \sqrt {H{M^2} - K{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
\( \Rightarrow {S_{HMN}} = \dfrac{1}{2}HK.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\).
Vậy \({S_{MHNPQ}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
