Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Trên hai tia \(Bx,\,\,Dy\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD

Câu hỏi số 239251:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Trên hai tia \(Bx,\,\,Dy\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và cùng chiều lấy lần lượt hai điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(BM=\frac{a}{2},\,\,DN=a.\) Tính góc \(\varphi \) giữa hai mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) và \(\left( CMN \right).\)

\(\varphi ={{30}^{0}}.\)

\(\varphi ={{90}^{0}}.\)

\(\varphi ={{60}^{0}}.\)

D. \(\varphi ={{45}^{0}}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239251

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết

Tam giác \(AMN\) có \(AM=\frac{a\sqrt{5}}{2};\,\,AN=a\sqrt{2};\,\,MN=\frac{3a}{2}.\)

Tam giác \(CMN\) có \(CM=\frac{a\sqrt{5}}{2};\,\,CN=a\sqrt{2};\,\,MN=\frac{3a}{2}.\)

Suy ra \(\Delta \,AMN=\Delta \,CMN.\)

Kẻ \(AH\bot MN\,\,\,\left( H\in MN \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot BN\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BMND} \right) \Rightarrow AC \bot MN\\ \Rightarrow MN \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow CH \bot MN\end{array}\)

Do đó \(\widehat{\left( \left( AMN \right);\left( CMN \right) \right)}=\widehat{AHC}=\varphi .\)

Xét tam giác AMN có:

\(\begin{array}{l}\cos \widehat {MAN} = \frac{{A{M^2} + A{N^2} - M{N^2}}}{{2AM.AN}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + 2{a^2} - \frac{{9{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \sin \widehat {MAN} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\\ \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN.\sin \widehat {MAN} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a\sqrt 2 .\frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3{a^2}}}{4}\end{array}\)

Diện tích \(\Delta \,AMN\) là \(S=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AH=\frac{2.S}{MN}=a\) mà \(AC=a\sqrt{2}.\)

Suy ra tam giác \(AHC\) vuông cân tại H. Vậy \(\varphi ={{90}^{0}}.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.