Cho đường tròn tâm O đường kính MN và dây cung PQ vuông góc với MN tại I (I khác M, I khác N).
Cho đường tròn tâm O đường kính MN và dây cung PQ vuông góc với MN tại I (I khác M, I khác N). Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (J khác N, J khác P), nối M với J cắt PQ tại H. Gọi giao điểm của PN với MJ là G, giao điểm của JQ với MN là K. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác GKNJ là tứ giác nội tiếp.
2) KG song song với PQ.
3) Điểm G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ.
Quảng cáo
+) Sử dụng các dấu hiện nhận biết tứ giác nội tiếp.
+) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
1) Tứ giác GKNJ là tứ giác nội tiếp.
\(MN\bot PQ\) tại I nên I là trung điểm của \(PQ\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\(\Rightarrow MN\) là trung trực của PQ.
\(\Rightarrow MP=MQ\Rightarrow sd\overset\frown{MP}=sd\overset\frown{MQ}.\)
Lại có \(\widehat{PNM}\) là góc nội tiếp chắn cung PM, \(\widehat{MJQ}\) là góc nội tiếp chắn cung MQ \(\Rightarrow \widehat{PNM}=\widehat{MJQ}\).
\(\Rightarrow \) Tứ giác GKNJ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).
2) KG song song với PQ.
Tứ giác GKNJ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{GKN}+\widehat{GJN}={{180}^{0}}.\)(tổng hai góc đối diện trong tứ giác).
Mà \(\widehat{MJN}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \(\Rightarrow \widehat{MJN}={{90}^{0}}\) (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) hay \(GK\bot MN.\)
Lại có \(MN\bot PQ\ \ \left( gt \right)\Rightarrow GK//PQ\) (từ vuông góc đến song song).
3) Điểm G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ.
\(sd\overset\frown{MP}=sd\overset\frown{MQ}\Rightarrow \widehat{{{J}_{1}}}=\widehat{{{J}_{2}}}\Rightarrow \) JG là tia phân giác của \(\widehat{PJK}\)
Ta có : \(K\in MN\Rightarrow KP=KQ\Rightarrow \Delta KPQ\) cân tại K \(\Rightarrow \widehat{{{P}_{1}}}=\widehat{{{Q}_{1}}}\)
Mà \(\widehat{{{P}_{1}}}=\widehat{{{K}_{2}}}\) (so le trong), \(\widehat{{{Q}_{1}}}=\widehat{{{K}_{1}}}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}=\widehat{{{K}_{2}}}\Rightarrow KG\) là tia phân giác của \(\widehat{JKP}\).
\(IG\cap KG=G\Rightarrow \) G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
