Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của
Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón cụt và bán kính đường tròn nội tiếp hình thang cân
Chuẩn hóa bán kính của viên bi là \(1\,\,\Rightarrow \) Chiều cao của cốc là \(h=2.\)
\(\bullet \) Thể tích của viên bi là \({{V}_{1}}=\frac{4\pi }{3}.\) Gọi \(R,\,\,r\) lần lượt là bán kính của miệng cốc và đáy cốc.
\(\bullet \) Thể tích của cốc (khối nón cụt) là \({{V}_{2}}=\frac{\pi h}{3}\left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right)=\frac{2\pi }{3}\left( {{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}} \right).\)
\(\bullet \) Vì lượng nước tràn ra bằng nửa lượng nước đổ vào cốc \(\Rightarrow\,\,\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow\,\,{{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}}=4\,\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
\(\bullet \) Xét mặt cắt của cốc khi thả viên bi vào trong cốc (hình vẽ bên).
Dễ thấy \(ABCD\) là hình thang cân \(\Rightarrow \,\,O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Mà \(\left\{ \begin{align} O{{A}^{2}}={{R}^{2}}+1 \\ O{{B}^{2}}={{r}^{2}}+1 \\\end{align} \right.\) và \(A{{B}^{2}}={{\left( AH-BK \right)}^{2}}+H{{K}^{2}}={{\left( R-r\right)}^{2}}+4\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\)
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)\(\Rightarrow \)\({{R}^{2}}+{{r}^{2}}+2={{\left( R-r \right)}^{2}}+4\Leftrightarrow Rr=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 4 \right)\)\(\Rightarrow \)\({{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}}=4Rr\Leftrightarrow {{\left( \frac{R}{r} \right)}^{2}}-3\left( \frac{R}{r} \right)+1=0.\)
\(\Leftrightarrow \frac{R}{r}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.\) Vậy tỉ số cần tính là \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}.\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
