Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2x\sin x} \over {1 + \sin x}}dx} = a\ln a - b\), trong

Câu hỏi số 241056:

Nhận biết

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2x\sin x} \over {1 + \sin x}}dx} = a\ln a - b\), trong đó \(a,b \in N\). Vậy giá trị của \({a^2} + {b^2}\) bằng:

A. 5

B. 3

C. 25

D. 10

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241056

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2x\sin x} \over {1 + \sin x}}dx} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{2{{\sin }^2}x\cos x} \over {1 + \sin x}}dx} \), đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 2} \Rightarrow t = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow 2\int\limits_0^1 {{{{t^2}} \over {1 + t}}dt} = 2\int\limits_0^1 {\left( {t - 1 + {1 \over {t + 1}}} \right)dt} = 2\left. {\left( {{{{t^2}} \over 2} - t + \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = - 1 + 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.