Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ

Câu hỏi số 241473:

Vận dụng cao

Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ \(\overset\frown{BC}\) . Lấy điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ \(\overset\frown{AC}\) , kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.

a) Chứng minh \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\) và MA là tia phân giác của \(\widehat{BMD}\)

b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và \(\widehat{BDC}\) có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

c) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F, chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241473

Phương pháp giải

+) Dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các góc cùng nhìn một đoạn thẳng thì bằng nhau. Từ đó chứng minh các cặp goác bằng nhau và chứng minh tia phân giác.

+) Chứng minh tiếp tuyến dựa vào các tính chất của tiếp tuyến. Ở bài này ta chứng minh 2 góc cùng chắn 1 cung bằng nhau trong đó có 1 góc nội tiếp thì góc còn lại là góc được tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Giải chi tiết

a) Tứ giác ABCM là tứ giác nội tiếp (O) nên \(\widehat{ABC}+\widehat{AMC}={{180}^{0}}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat{AMD}+\widehat{AMC}={{180}^{0}}\) (kề bù)

Suy ra \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{AMB}\) nội tiếp chắn cung AB, \(\widehat{ABC}\) nội tiếp chắn cung AC ⇒\(\widehat{AMB}\) =\(\widehat{ABC}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\) (cmt) ⇒\(\widehat{AMB}\) =\(\widehat{AMD}\)

Vậy MA là tia phân giác của \(\widehat{BMD}\)

b) Xét tam giác MBD có MA là đường cao đồng thời là phân giác \(\Rightarrow \Delta MBD\) cân tại M

Suy ra MI là trung trực của BD

Vì A là điểm chính giữa cung BC nên OA là trung trực của BC

Mà \(OA\cap MI=A\)

Vậy A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Ta có: \(\widehat{BDC}+\widehat{AMD}={{90}^{0}}\)

Mà \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{BDC}+\widehat{ABC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BDC}={{90}^{0}}-\widehat{ABC}\)

Vì B, C cố định nên A cố định nên \(\widehat{ABC}\) có độ lớn không đổi. Vậy \(\widehat{BDC}\) có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

c) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{BFA}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF ta có: \(\widehat{BFA}\) là góc nội tiếp chắn cung BE.

\(\widehat{ABC}\) là góc tạo bởi dây cung BE và đoạn AB.

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link