Cho phương trình bậc hai: \({{x}^{2}}-2\left( k-2 \right)x-2k-5=0\)(với \(k\(là tham số) a) Chứng

Câu hỏi số 241472:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai: \({{x}^{2}}-2\left( k-2 \right)x-2k-5=0\)(với \(k\(là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(k\)

b) Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của \(k\) sao cho \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=18\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241472

Phương pháp giải

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(k\Leftrightarrow \Delta '>0\ \forall k.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm giá trị của k.

Giải chi tiết

a) \(\Delta '={{\left( k-2 \right)}^{2}}+2k+5={{k}^{2}}-4k+4+2k+5={{k}^{2}}-2k+9={{\left( k-1 \right)}^{2}}+8>0\,\,\,\forall k\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(k\)

b) Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( k-2 \right) \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2k-5 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 18 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 18 \Leftrightarrow {\left[ {2\left( {k - 2} \right)} \right]^2} - 2\left( { - 2k - 5} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 16k + 16 + 4k + 10 = 18 \Leftrightarrow 4{k^2} - 12k + 26 = 18 \Leftrightarrow 4{k^2} - 12k + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 3k + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {k - 2} \right)\left( {k - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(k=1,k=2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link