Cho phương trình bậc hai: \({{x}^{2}}-2\left( k-2 \right)x-2k-5=0\)(với \(k\(là tham số) a) Chứng

Câu hỏi số 241472:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai: \({{x}^{2}}-2\left( k-2 \right)x-2k-5=0\)(với \(k\(là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(k\)

b) Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của \(k\) sao cho \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=18\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241472

Phương pháp giải

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(k\Leftrightarrow \Delta '>0\ \forall k.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm giá trị của k.

Giải chi tiết

a) \(\Delta '={{\left( k-2 \right)}^{2}}+2k+5={{k}^{2}}-4k+4+2k+5={{k}^{2}}-2k+9={{\left( k-1 \right)}^{2}}+8>0\,\,\,\forall k\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(k\)

b) Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( k-2 \right) \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2k-5 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 18 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 18 \Leftrightarrow {\left[ {2\left( {k - 2} \right)} \right]^2} - 2\left( { - 2k - 5} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 16k + 16 + 4k + 10 = 18 \Leftrightarrow 4{k^2} - 12k + 26 = 18 \Leftrightarrow 4{k^2} - 12k + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 3k + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {k - 2} \right)\left( {k - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(k=1,k=2\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link