Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+\left( 3m+5 \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)

Câu 242217: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=\frac{m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+\left( 3m+5 \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)

A. 6

B. 2

C. 4

D. 5

Câu hỏi : 242217

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện để hàm số bậc ba đồng biến trên toàn tập xác định. Hàm số y = f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\ \forall x\in \mathbb{R}.\)

Đáp án : A
(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \({f}'\left( x \right)=m{{x}^{2}}-4mx+3m+5;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

TH1. Với \(m=0,\) khi đó \({f}'\left( x \right)=5>0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)\(\Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

TH2. Với \(m\ne 0,\) để hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\,\,\Leftrightarrow \,\,{f}'\left( x \right)\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \,\,m{{x}^{2}}-4mx+3m+5\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{align} & a=m>0 \\ & {\Delta }'={{\left( -\,2m \right)}^{2}}-m\left( 3m+5 \right)\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 0<m\le 5.\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z},\) ta được \(m=\left\{ 0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5 \right\}\) là giá trị cần tìm.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.