Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 242410:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\). Biết rằng \(f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\). Tính \(T = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 5 \right)\)

A. \(T = \ln 2 + 1\)

B. \(T = \frac{1}{2}\ln 2\)

C. \(T = \ln \sqrt 2 + 2\)

D. \(T = \ln 4 + 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242410

Phương pháp giải

Xét trên từng khoảng của x, tìm \(f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} \)

Giải chi tiết

Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{}^{} {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + {C_1} = \frac{1}{2}\ln \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + {C_1}\\f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2} + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 0\end{array}\)

Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + {C_2} = \frac{1}{2}\ln \frac{{ - x + 1}}{{x + 1}} + {C_2}\\f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}\ln \frac{1}{3} + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\ln \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,\,x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\\frac{1}{2}\ln \frac{{ - x + 1}}{{x + 1}} + 2\,\,khi\,\,x \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow T = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 5 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{2}\ln 1 + 2 + \frac{1}{2}\ln \frac{2}{3} = \ln \sqrt 2 + 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.