Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = AC = 12\). Lấy một điểm \(M\) thuộc cạnh huyền

Câu hỏi số 242422:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = AC = 12\). Lấy một điểm \(M\) thuộc cạnh huyền \(BC\) và gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên cạnh góc vuông \(AB\). Quay tam giác \(AMH\) quanh trục là đường thẳng \(AB\) tạo thành mặt nón tròn xoay \(\left( N \right)\), hỏi thế tích \(V\) của khối nón tròn xoay \(\left( N \right)\) lớn nhất là bao nhiêu?

A. \(V = \frac{{128\pi }}{3}\)

B. \(V = 256\pi \)

C. \(V = \frac{{256\pi }}{3}\)

D. \(V = 72\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242422

Phương pháp giải

Đặt \(HM = x\), lập hàm thể tích khối nón \(\left( N \right)\) và tìm GTLN của hàm số đó.

Giải chi tiết

Quay tam giác vuông \(AMH\) quanh trục \(AB\) ta được khối nón có đỉnh \(A\), bán kính đát \(HM\) và đường cao \(AH\) , khi đó ta có thể tích của khối nón tròn xoay \(\left( N \right)\) là \(V = \frac{1}{3}\pi H{M^2}.AH\)

Đặt \(HM = x,\,\,\left( {0 \le x \le 12\sqrt 2 } \right)\) ta có \(\Delta BHM\) vuông cân tại \(H\) nên \(BH = HM = x \Rightarrow AH = AB - BH = 12 - x\)

Khi đó \(V = \frac{1}{3}\pi {x^2}\left( {12 - x} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {12 - x} \right)\) với \(x \in \left[ {0;12\sqrt 2 } \right]\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2x\left( {12 - x} \right) - {x^2} = - 3{x^2} + 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 0\\f\left( {12} \right) = 0\\f\left( 8 \right) = 256\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;12\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = 256\\ \Rightarrow {V_{max}} = \frac{1}{3}\pi .256 = \frac{{256\pi }}{3}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.