Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ hai điểm A, B trên (E), có tung độ
Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ hai điểm A, B trên (E), có tung độ dương sao cho tam giác OAB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
*) Gọi phương trình đường thẳng OA có dạng \(ax + by = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\), tìm tọa độ điểm A là giao điểm của OA và elip. Tương tự như vậy tìm tọa độ điểm B.
*) Tính độ dài \(OA,OB\) và say ra tổng \({1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}}\) không đổi.
*) Sử dụng BĐT Cô si: \({1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \ge {2 \over {OA.OB}} = {1 \over {{S_{OAB}}}} \Rightarrow {S_{OAB}} \ge {1 \over {{1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}}}}\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow OA = OB\)
*) Suy ra tính chất đặc biệt của tam giác OAB, của điểm A và điểm B sau đó tìm tọa độ của chúng.
Gọi đường thẳng OA có phương trình \(ax + by = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\), khi đó tọa độ của điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ a{x_0} + b{y_0} = 0 \hfill \cr {{x_0^2} \over 4} + y_0^2 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {y_0} = - {a \over b}{x_0} \hfill \cr {{x_0^2} \over 4} = 1 - y_0^2 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x_0^2} \over 4} = 1 - {{{a^2}} \over {{b^2}}}x_0^2 \Leftrightarrow \left( {{1 \over 4} + {{{a^2}} \over {{b^2}}}} \right)x_0^2 = 1 \Leftrightarrow {{4{a^2} + {b^2}} \over {4{b^2}}}x_0^2 = 1 \Leftrightarrow x_0^2 = {{4{b^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow y_0^2 = {{4{a^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} \cr & \Rightarrow O{A^2} = x_0^2 + y_0^2 = {{4{b^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} + {{4{a^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} = {{4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {4{a^2} + {b^2}}} \cr} \)
Tương tự như vậy ta tính được \(O{B^2} = {{4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {{a^2} + 4{b^2}}}\)
\( \Rightarrow {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} = {{{a^2} + 4{b^2}} \over {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + {{4{a^2} + {b^2}} \over {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} = {{5{a^2} + 5{b^2}} \over {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} = {5 \over 4}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \ge {2 \over {OA.OB}} = {1 \over {{S_{OAB}}}} \cr & \Leftrightarrow {5 \over 4} \ge {1 \over {{S_{OAB}}}} \Leftrightarrow {S_{OAB}} \le {4 \over 5} \cr} \)
\({S_{OAB\,\,Min}} = {4 \over 5} \Leftrightarrow OA = OB \Rightarrow \) Tam giác OAB vuông cân tại O.
Mà A, B trên (E), có tung độ dương \( \Rightarrow \) A, B đối xứng nhau qua Oy, đồng thời A, B nằm trên các tia phân giác của các góc phần tư.
Giả sử, \(A \in d:\,\,y = x \Rightarrow A\left( {{x_0};{x_0}} \right),\,\,{x_0} > 0\)
\(A \in (E) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {{{x_0}^2} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {4 \over 5} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = {2 \over {\sqrt 5 }}\,\,(TM) \hfill \cr {x_0} = - {2 \over {\sqrt 5 }}\,\,(L) \hfill \cr} \right. \Rightarrow A\left( {{2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right),\,B\left( { - {2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)\,\)
Nếu \(A \in d':\,\,y = - x\), tương tự ta tìm được : \(A\left( { - {2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right),\,B\left( {{2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)\,\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
