Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ hai điểm A, B trên (E), có tung độ
Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ hai điểm A, B trên (E), có tung độ dương sao cho tam giác OAB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
*) Gọi phương trình đường thẳng OA có dạng \(ax + by = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\), tìm tọa độ điểm A là giao điểm của OA và elip. Tương tự như vậy tìm tọa độ điểm B.
*) Tính độ dài \(OA,OB\) và say ra tổng \({1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}}\) không đổi.
*) Sử dụng BĐT Cô si: \({1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \ge {2 \over {OA.OB}} = {1 \over {{S_{OAB}}}} \Rightarrow {S_{OAB}} \ge {1 \over {{1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}}}}\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow OA = OB\)
*) Suy ra tính chất đặc biệt của tam giác OAB, của điểm A và điểm B sau đó tìm tọa độ của chúng.
Gọi đường thẳng OA có phương trình \(ax + by = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\), khi đó tọa độ của điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ a{x_0} + b{y_0} = 0 \hfill \cr {{x_0^2} \over 4} + y_0^2 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {y_0} = - {a \over b}{x_0} \hfill \cr {{x_0^2} \over 4} = 1 - y_0^2 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x_0^2} \over 4} = 1 - {{{a^2}} \over {{b^2}}}x_0^2 \Leftrightarrow \left( {{1 \over 4} + {{{a^2}} \over {{b^2}}}} \right)x_0^2 = 1 \Leftrightarrow {{4{a^2} + {b^2}} \over {4{b^2}}}x_0^2 = 1 \Leftrightarrow x_0^2 = {{4{b^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} \Rightarrow y_0^2 = {{4{a^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} \cr & \Rightarrow O{A^2} = x_0^2 + y_0^2 = {{4{b^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} + {{4{a^2}} \over {4{a^2} + {b^2}}} = {{4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {4{a^2} + {b^2}}} \cr} \)
Tương tự như vậy ta tính được \(O{B^2} = {{4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \over {{a^2} + 4{b^2}}}\)
\( \Rightarrow {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} = {{{a^2} + 4{b^2}} \over {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + {{4{a^2} + {b^2}} \over {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} = {{5{a^2} + 5{b^2}} \over {4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} = {5 \over 4}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \ge {2 \over {OA.OB}} = {1 \over {{S_{OAB}}}} \cr & \Leftrightarrow {5 \over 4} \ge {1 \over {{S_{OAB}}}} \Leftrightarrow {S_{OAB}} \le {4 \over 5} \cr} \)
\({S_{OAB\,\,Min}} = {4 \over 5} \Leftrightarrow OA = OB \Rightarrow \) Tam giác OAB vuông cân tại O.
Mà A, B trên (E), có tung độ dương \( \Rightarrow \) A, B đối xứng nhau qua Oy, đồng thời A, B nằm trên các tia phân giác của các góc phần tư.
Giả sử, \(A \in d:\,\,y = x \Rightarrow A\left( {{x_0};{x_0}} \right),\,\,{x_0} > 0\)
\(A \in (E) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {{{x_0}^2} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {4 \over 5} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = {2 \over {\sqrt 5 }}\,\,(TM) \hfill \cr {x_0} = - {2 \over {\sqrt 5 }}\,\,(L) \hfill \cr} \right. \Rightarrow A\left( {{2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right),\,B\left( { - {2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)\,\)
Nếu \(A \in d':\,\,y = - x\), tương tự ta tìm được : \(A\left( { - {2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right),\,B\left( {{2 \over {\sqrt 5 }};{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)\,\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
