Cho Elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) , có

Câu hỏi số 242885:

Vận dụng cao

Cho Elip \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E) , có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

A. \(A\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).

B. \(A\left( {\sqrt 2 ;{1 \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {1 \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {1 \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{1 \over 2}} \right)\).

C. \(A\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).

D. \(A\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 3 ; - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 3 ;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242885

Phương pháp giải

Xác định mối quan hệ giữa A và B để tam giác OAB cân tại O.

Gọi điểm \(A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)\)

Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) tọa độ điểm H.

\({S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}OH.AB\), sử dụng BĐT Cô si cho hai số không âm: \(\sqrt {ab} \le {{{a^2} + {b^2}} \over 2}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Giải chi tiết

Tam giác OAB cân tại O, A và B thuộc (E) , có hoành độ dương, suy ra: A đối xứng với B qua Ox.

Gọi \(A({x_0};{y_0}) \Rightarrow B({x_0}; - {y_0});{\rm{ (}}{{\rm{x}}_0} > 0)\).

\(A \in (E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {{{y_0}^2} \over 1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = {{\sqrt {4 - {x_0}^2} } \over 2}\)

Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = \sqrt {4 - {x_0}^2} \)

Gọi H là trung điểm AB thì \(H\left( {{x_0};0} \right)\)

\( \Rightarrow OH = {x_0} \Rightarrow {S_{OAB}} = {1 \over 2}.OH.AB = {1 \over 2}{x_0}.\sqrt {4 - {x_0}^2} = {1 \over 2}\sqrt {{x_0}^2(4 - {x_0}^2)} \le {1 \over 2}.{{{x_0}^2 + 4 - {x_0}^2} \over 2} = 1\).

Đẳng thức xảy ra khi \(x_0^2 = 4 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\).

Vậy \(A\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.