Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân, với \(AB=AC=a\) và góc

Câu hỏi số 243012:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân, với \(AB=AC=a\) và góc \(\widehat{BAC}={{120}^{0}},\) cạnh bên \(A{A}'=a.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(C{C}'.\) Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( A{B}'I \right)\) bằng

A. \(\frac{\sqrt{11}}{11}.\)

B. \(\frac{\sqrt{33}}{11}.\)

C. \(\frac{\sqrt{30}}{10}.\)

D. \(\frac{\sqrt{10}}{10}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243012

Phương pháp giải

Dựa vào phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và đưa vào tam giác vuông tính toán cosin góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết

Vì \(A{A}'{B}'B\) là hình vuông cạnh \(a\)\(\Rightarrow \,\,A{{{B}'}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)

Ta có

\(A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4};\,\,{B}'{{I}^{2}}={B}'{{{C}'}^{2}}+{C}'{{I}^{2}}=B{{C}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}\)Mà \(B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos {{120}^{0}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}.\)

Khi đó :

\({B}'{{I}^{2}}=3{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{13{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow A{{{B}'}^{2}}+A{{I}^{2}}={B}'{{I}^{2}}\)\(\Rightarrow \,\,\Delta \,A{B}'I\) vuông tại \(A.\)

Gọi \(D\) là giao điểm của \(BC\) và \({B}'I\,\,\Rightarrow \,\,AD=\left( ABC \right)\cap \left( A{B}'I \right).\)

Kẻ \(CH\bot AD\) \(\left( H\in AD \right).\) Vì \(C\) là hình chiếu của \(I\) trên \(mp\,\,\left( ABC \right).\)

Suy ra \(IH\bot AD\)\(\Rightarrow \,\,\widehat{IHC}\) chính là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( A{B}'I \right).\)

Trong tam giác \(B{B}'D\) có \(CI\) là đường trung bình \(\Rightarrow CD=CB=a\sqrt{3}.\) Xét tam giác \(ACD,\) có \(A{{D}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}-2.AC.CD.\cos {{150}^{0}}=7{{a}^{2}}\Rightarrow AD=a\sqrt{7}.\)

Lại có \(\frac{AC}{\sin \widehat{ADC}}=\frac{AD}{\sin {{150}^{0}}}\Rightarrow \sin \widehat{ADC}=\frac{1}{2\sqrt{7}}\Rightarrow CH=CD.\sin \widehat{ADC}=\frac{a\sqrt{21}}{14}.\)

Tam giác \(IHC\) vuông \(\Rightarrow \,\,I{{H}^{2}}=C{{I}^{2}}+C{{H}^{2}}\Rightarrow \,\,IH=\frac{a\sqrt{70}}{14}.\) Vậy \(\cos \widehat{IHC}=\frac{CH}{IH}=\frac{\sqrt{30}}{10}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.