Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3\), biết \(3b - 2a = 5\).

Câu hỏi số 244051:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = 3\), biết \(3b - 2a = 5\). Tính \(M = {a^2} - {b^2}.\)

A. \(M = - 5\)

B. \(M = - 15\)

C. \(M = {{26565} \over {729}}\)

D. \(M = 15\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:244051

Phương pháp giải

\(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = {I_1} + {I_2}\)

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {3{x^2} + 1} \) để tính \({I_2}.\)

Tính I theo a, b. Kết hợp giả thiết \(3b - 2a = 5\), tìm a và b. Tính M.

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_0^1 {x\left( {ax + b\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)dx} = a\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + b\int\limits_0^1 {x\sqrt {3{x^2} + 1} dx} = \left. {a{{{x^3}} \over 3}} \right|_0^1 + b{I_1} = {a \over 3} + b{I_1}\)

Đặt \(t = \sqrt {3{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = 3{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 6xdx \Rightarrow xdx = {{tdt} \over 3}\)

Đổi cận: \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \cr x = 1 \Rightarrow t = 2 \hfill \cr} \right.\), khi đó \({I_1} = \int\limits_1^2 {{{tdt} \over 3}.t} = \left. {{1 \over 3}{{{t^3}} \over 3}} \right|_1^2 = {8 \over 9} - {1 \over 9} = {7 \over 9}.\)

\( \Rightarrow I = {a \over 3} + {{7b} \over 9} = 3\).

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ {a \over 3} + {{7b} \over 9} = 3 \hfill \cr 3b - 2a = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M = {a^2} - {b^2} = - 5\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.