Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh của hình hộp chữ
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh của hình hộp chữ nhật nằm trên mặt cầu). Các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c. Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, \({{S}_{2}}\) là diện tích mặt cầu. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để tỉ lệ \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) lớn nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là a, b, c là:
\({{S}_{tp}}=ab+bc+ca.\)
+) Diện tích của mặt cầu bán kính R là: \(S=4\pi {{R}^{2}}.\)
Gọi \(O=A'C\cap BD'\) ⇒ O là tâm hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
\(A'C=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\)
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là \({{S}_{1}}=2\left( ab+bc+ca \right)\)
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là \({{S}_{2}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\)
Khi đó \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{2\left( a+b+c \right)}{4\pi \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}\)
Để tỉ lệ trên là lớn nhất thì \(P=\frac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\) lớn nhất
Ta có: \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}\ge \sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\Rightarrow P\le \frac{abc}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}=\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{V}\) với V là thể tích của hình hộp chữ nhât.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Vậy tỉ lệ \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) lớn nhất khi hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.
Đáp án cần chọn là: C
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
