Cho tam giác ABC. Goi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác đó. Từ O kẻ OD, OE, OF lần
Cho tam giác ABC. Goi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác đó. Từ O kẻ OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, AC, AB. Trên tia đối của các tia AC, BA, CB lấy theo thứ tự ba điểm A1, B1, C1 sao cho AA1 = BC, BB1 = AC, CC1 = AB. Chứng minh rằng:
a) AE = AF, BD = BF, CD = CE;
b) EA1 = FB1 = DC1;
c) O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A1B1C1.
Quảng cáo
+) Áp dụng tính chất 3 đường phân giác trong tam giác.
+) Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
a) Do OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, AC, AB nên các tam giác AOE, AOF, BOF, BOD, COE, COD là các tam giác vuông.
O là giao điểm các đường phân giác nên suy ra OD = OE = OF.
Xét hai tam giác vuông AOE và AOF ta có:
AO là cạnh chung;
OE = OF
Vậy \(\Delta AOE\text{ = }\Delta AOF\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra AE =AF (2 cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta có: BD = BF, CD = CE.
b) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Ta có:
AE = AC – CE = AC – CD
AF = AB – BF = AB – BD
Suy ra AE + AF = AC – CD + AB – BD = AB + AC – (BD + CD)
Hay 2.AE = AB + AC – BC = c + b – a.
Do đó \(AE=\frac{c+b-a}{2}\)
Ta có \(E{{A}_{1}}=EA+\text{A}{{\text{A}}_{1}}=EA+BC=\frac{c+b-a}{2}+a=\frac{c+b+a}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(F{{B}_{1}}=\frac{c+b+a}{2};\,\,D{{C}_{1}}=\frac{c+b+a}{2}\)
Vậy \(E{{A}_{1}}=F{{B}_{1}}=D{{C}_{1}}.\)
c) +) Xét hai tam giác vuông OEA1 và OFB1 ta có:
\(\begin{align} & OE=OF \\ & E{{A}_{1}}=F{{B}_{1}} \\ \end{align}\)
Vậy \(\Delta OE{{A}_{1}}\text{= }\Delta OF{{B}_{1}}\) (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
Suy ra \(O{{A}_{1}}=O{{B}_{1}}\) (1)
+) Xét hai tam giác vuông OFB1 và ODC1 ta có:
\(\begin{align} & OD=OF \\ & F{{B}_{1}}=D{{C}_{1}} \\ \end{align}\)
Vậy \(\Delta OF{{B}_{1}}\text{= }\Delta OD{{C}_{1}}\) (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
Suy ra \(O{{B}_{1}}=O{{C}_{1}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(O{{A}_{1}}=O{{B}_{1}}=O{{C}_{1}}\). Đẳng thức này chứng tỏ O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A1B1C1.
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
