Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển \({{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}\)

Câu hỏi số 246308:

Vận dụng

A. 252

B. 582

C. 1902

D. 7752

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246308

Phương pháp giải

Phân tích đa thức \(1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\) thành nhân tử.

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}}\)

Giải chi tiết

\({{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{10}}={{\left[ \left( 1+x \right)+{{x}^{2}}\left( 1+x \right) \right]}^{10}}={{\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x \right) \right]}^{10}}\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

\({{\left[ \left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x \right) \right]}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{2k}}}.\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{m}.{{x}^{m}}}\,\,\left( k,m\in Z \right)\)

Để tìm hệ số của x⁵ ta cho \(2k+m=5\Leftrightarrow \left( k;m \right)\in \left\{ \left( 0;5 \right);\left( 1;3 \right);\left( 2;1 \right) \right\}\).

Vậy hệ số của \({{x}^{5}}\) là : \(C_{10}^{0}.C_{10}^{5}+C_{10}^{1}.C_{10}^{3}+C_{10}^{2}.C_{10}^{1}=1902\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.