Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat{BAD}={{60}^{0}}\), các mặt bên \(\left(

Câu hỏi số 247198:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat{BAD}={{60}^{0}}\), các mặt bên \(\left( SAB \right)\), \(\left( SAD \right)\) và \(\left( SBD \right)\) tạo với đáy một góc bằng \({{45}^{0}}\). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là

A. \(\frac{{{a}^{3}}}{4}.\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}}{3}.\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}}{6}.\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}}{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247198

Phương pháp giải

Xác định thể tích khối chóp bằng cách xác định chiều cao, với hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp tam giác đáy

Giải chi tiết

Ba mặt bên \(\left( SAB \right),\left( SAD \right),\left( SBD \right)\) tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng \({{45}^{0}}.\)

\(\Rightarrow \) Chân đường cao trùng tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \,ABD\) hoặc chân đường cao trùng với đường tròn tâm bàng tiếp của \(\Delta \,ABD\).

Xét 2 trường hợp ta nhận thấy thể tích khối chóp lớn nhất \(\Rightarrow \) \({{V}_{max}}\) khi chân đường cao trùng tâm bàng tiếp \(\Delta ABD \Rightarrow H \equiv C.\)

Ta có \(\widehat {DAB} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a.\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có: \(\widehat {\left( {\left( {SBD} \right),\;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SO,\;OC} \right)} = \widehat {SOC} = {45^0}.\)

\( \Rightarrow \Delta SOC\) vuông cân tại \(C \Rightarrow SC = OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

\( \Rightarrow {V_{max}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.