Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+2m\left( m+2 \right){{x}^{2}}+m+2\). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số có 3 điểm

Câu hỏi số 247199:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+2m\left( m+2 \right){{x}^{2}}+m+2\). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.

A. \(-\frac{1}{2}.\)

B. \(-\dfrac{3}{2}.\)

C. \(-\,1.\)

D. \( - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247199

Phương pháp giải

Tìm tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số, tính diện tích và tìm giá trị lớn nhất.

Cho hàm số : \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\ \ \left( a\ne 0 \right)\) có 3 điểm cực trị A, B và C.

Khi đó công thức tính nhanh diện tích tam giác ABC là : \({{S}_{ABC}}=\sqrt{-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}}.\)

Giải chi tiết

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}+4m\left( m+2 \right)x;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4m\left( {m + 2} \right)x = 0\\
\Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + m\left( {m + 2} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
g\left( x \right) = {x^2} + m\left( {m + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi \( \Rightarrow m\left( {m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 0\)

Gọi \(A\left( 0;m+2 \right),\,\,B\left( \sqrt{-\,{{m}^{2}}-2m};{{y}_{B}} \right),\,\,C\left( -\,\sqrt{-\,{{m}^{2}}-2m};{{y}_{C}} \right)\) là ba điểm cực trị.

Dựa vào công thức tam giác cực trị của hàm trùng phương ta có diện tích \(\Delta \,ABC\) là:

\({{S}_{\Delta \,ABC}}={{\left( -\,{{m}^{2}}-2m \right)}^{2}}\sqrt{-\,{{m}^{2}}-2m}={{\left( 1-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)}^{\,2}}\sqrt{1-{{\left( m+1 \right)}^{2}}}.\)

Mà \({{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0;\,\,\forall m\Rightarrow 1-{{\left( m+1 \right)}^{2}}\le 1\Rightarrow S\le 1.\)

Dấu \(''\,\,=\,\,''\) xảy ra khi \(m=-\,1.\) (tm)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.