Khi \(m \in \left\{ {a;b} \right\},\,\,a < b\) thì đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\) có ba điểm cực

Câu hỏi số 247242:

Vận dụng cao

Khi \(m \in \left\{ {a;b} \right\},\,\,a < b\) thì đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho O, A, B, C lập thành một tứ giác nội tiếp. Giá trị biểu thức \(9{a^2} + 6{b^2}\) gần với giá trị nào nhất?

A. 19,43

B. 10,51

C. 18,24

D. 29,56

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247242

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Chứng minh tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OCA} = {90^0} \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Rightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = 2m \Rightarrow A\left( {0;2m} \right) \hfill \cr x = \sqrt m \Leftrightarrow y = - {m^2} + 2m \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2m} \right) \hfill \cr x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 2m \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2m} \right) \hfill \cr} \right.\)

Tam giác ABC cân tại A có điểm A nằm phía trên trục Ox. Để OBAC là tứ giác nội tiếp thì \({y_B} > 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 2m > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 2\) và \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = {180^0}\)

Ta có: \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\) (tính chất đối xứng) \( \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OCA} = {90^0} \Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2m} \right);\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AB} = m - {m^2}\left( { - {m^2} + 2m} \right) = 0\\
\Leftrightarrow m + {m^4} - 2{m^3} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\
{m^3} - 2{m^2} + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1 = a\\
m = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = b
\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,0 < m < 2} \right)\\
\Rightarrow 9{a^2} + 6{b^2} = 18 + 3\sqrt 5 \approx 24,7
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.