Kí hiệu S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 3\) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC sao cho tam giác tồn tại một góc 30⁰. Tổng tất cả các giá trị của S gần với giá trị nào nhất?

Câu 247241: Kí hiệu S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 3\) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC sao cho tam giác tồn tại một góc 30⁰. Tổng tất cả các giá trị của S gần với giá trị nào nhất?

A. 3

B. 4

C. 6

D. 7

Câu hỏi : 247241

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC cân, giả sử cân tại A, có chứa góc 30⁰ \( \Rightarrow \left[ \matrix{ \widehat {BAC} = {30^0} \hfill \cr \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {30^0} \hfill \cr} \right.\), tính các cạnh của tam giác ABC và sử dụng công thức định lí cosin trong tam giác.

Đáp án : A
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right) \hfill \cr   x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 3 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr   x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 3 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr} \right.\)

Tam giác \(ABC\) cân tại A có \(AB = AC = \sqrt {m + {m^4}} ,\,\,BC = 2\sqrt m \)

TH1:

\(\eqalign{ & \widehat {BAC} = {30^0} \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}} \cr   & \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2} = {{2m + 2{m^4} - 4m} \over {2\left( {m + {m^4}} \right)}} \cr   & \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {m + {m^4}} \right) = 2{m^4} - 2m \cr   & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 2} \right)m = \left( {2 - \sqrt 3 } \right){m^4} \cr   & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   {m^3} = {{2 + \sqrt 3 } \over {2 - \sqrt 3 }} = 7 + 4\sqrt 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = \root 3 \of {7 + 4\sqrt 3 } \cr} \)

TH2:

\(\eqalign{ & \widehat {ABC} = {30^0} \Leftrightarrow \cos \widehat {ABC} = {{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}} \over {2AB.BC}} \cr   & \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2} = {{m + {m^4} + 4m - m - {m^4}} \over {2\sqrt {m + {m^4}} .2\sqrt m }} \cr   & \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt m } \over {\sqrt {m + {m^4}} }} \cr   & \Leftrightarrow 3\left( {m + {m^4}} \right) = 4m \cr   & \Leftrightarrow 3{m^4} = m \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = \root 3 \of {{1 \over 3}} \,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr   & \Rightarrow S = \left\{ {\root 3 \of {7 + 4\sqrt 3 } ;\root 3 \of {{1 \over 3}} } \right\};\,\,\root 3 \of {7 + 4\sqrt 3 } + \root 3 \of {{1 \over 3}} \approx 3 \cr} \)

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.