Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB và

Câu hỏi số 247996:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB và cát tuyến CMN với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm, M là điểm nằm giữa C và N). Gọi H là giao điểm của CO và AB

a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp

b) Chứng minh rằng \(CH.CO=CM.CN\)

c) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt CA, CB theo thứ tự E, F. Đường thẳng vuông góc với CO tại O cắt CA, CB theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh \(\widehat{POE}=\widehat{OFQ}\)

d) Chứng minh rằng \(PE+QF\ge PQ\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247996

Phương pháp giải

+) Dựa vào dấu hiện nhận biết, tứ giác có hai tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng sau đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ để chứng minh hệ thức đề bài yêu cầu.

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các cạnh PE và QF.

Giải chi tiết

a) Vì CA và CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(\widehat{CAO}=\widehat{CBO}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{CAO}+\widehat{CBO}={{180}^{0}}\)

b) Xét tam giác ACM và NCA có \(\widehat{ACN}\) chungVậy tứ giác AOBC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

\(\widehat{CAM}=\widehat{ANM}\) (cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow \Delta ACM\sim \Delta NCA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AC}{NC}=\frac{CM}{AC}\Rightarrow A{{C}^{2}}=CM.CN\)

Xét tam giác vuông OAC có\(A{{C}^{2}}=CH.CO\)

Từ đó suy ra \(CH.CO=CM.CN\)

\(\begin{align} & c)\ \ \,\widehat{OFQ}=\widehat{OCF}+\widehat{COF}=\widehat{OCP}+\widehat{COF}=\widehat{AOP}+\widehat{COF} \\ & +)\,\widehat{POE}=\widehat{POA}+\widehat{AOE}=\widehat{AOP}+\frac{1}{2}\widehat{AOM}=\widehat{AOP}+\frac{1}{2}\left( {{180}^{0}}-\widehat{AEM} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\widehat{AOP}+{{90}^{o}}-\frac{1}{2}\left( \widehat{ECF}+\widehat{CFE} \right)=\widehat{AOP}+{{90}^{o}}-\frac{1}{2}\left( {{180}^{0}}-\widehat{AOB} \right)-\frac{1}{2}\left( {{180}^{o}}-\widehat{MFB} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\widehat{AOP}+\frac{1}{2}\widehat{AOB}-\frac{1}{2}\left( {{180}^{0}}-{{180}^{0}}+\widehat{\mathbf{M}OB} \right)=\widehat{AOP}+\widehat{COB}-\widehat{BOF}=\widehat{AOP}+\widehat{COF} \\ \end{align}\)

Vậy \(\widehat{POE}=\widehat{OFQ}\)

d) Tam giác CPQ cân tại C\(\Rightarrow \widehat{OPE}=\widehat{FQO}\) , và \(\widehat{POE}=\widehat{OFQ}\)(cmt) nên \(\Delta PEO\sim \Delta QOF\left( g.g \right)\)

\(\Rightarrow \frac{PE}{QO}=\frac{PO}{QF}\Rightarrow PE.QF=PO.QO={{\left( \frac{PQ}{2} \right)}^{2}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: \(PE+QF\ge 2\sqrt{PE.QF}=2\sqrt{{{\left( \frac{PQ}{2} \right)}^{2}}}=PQ\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link