Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD).\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SD\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((GMN)\) và \((ABCD).\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi H là trung điểm của AB \(\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)
Gắn hệ tọa độ \(Oxyz,\) với \(H\left( 0;0;0 \right),\,\,S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\,\,A\left( -\frac{1}{2};0;0 \right);\,\,B\left( \frac{1}{2};0;0 \right);\,\,C\left( \frac{1}{2};1;0 \right),\,\,D\left( -\frac{1}{2};1;0 \right)\)
Gọi \({{\overrightarrow{n}}_{1}};{{\overrightarrow{n}}_{2}}\) lần lượt là các VTPT của mặt phẳng \(\left( GMN \right);\left( ABCD \right)\Rightarrow \cos \left( \left( GMN \right);\left( ABCD \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\)
Gọi H là trung điểm của \(AB.\) Vì \(\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\)\( \Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)
Gắn hệ tọa độ \(Oxyz,\) với \(H\left( 0;0;0 \right),\,\,S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\,\,A\left( -\frac{1}{2};0;0 \right);\,\,B\left( \frac{1}{2};0;0 \right);\,\,C\left( \frac{1}{2};1;0 \right),\,\,D\left( -\frac{1}{2};1;0 \right)\)
Khi đó \(G\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{6} \right),\,\,M\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{4} \right),\,\,N\left( -\,\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{GM}=\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{12} \right);\,\,\overrightarrow{MN}=\left( -\frac{1}{2};0;0 \right) \\ & \Rightarrow \,\,{{{\vec{n}}}_{1}}={{{\vec{n}}}_{\left( GMN \right)}}=\left[\overrightarrow{GM};\overrightarrow{MN} \right]=\left( 0;-\frac{\sqrt{3}}{24};\frac{1}{4} \right). \\ \end{align}\)
Và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({{\vec{n}}_{2}}={{\vec{n}}_{\left( ABCD \right)}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).\)
Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( GMN \right),\,\,\left( ABCD \right)\) là \(\cos \alpha =\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}.{{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}=\frac{2\sqrt{39}}{13}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
