Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều

Câu hỏi số 248917:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD).\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,\,SD\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((GMN)\) và \((ABCD).\)

A. \(\frac{2\sqrt{39}}{39}.\)

B. \(\frac{\sqrt{13}}{13}.\)

C. \(\frac{\sqrt{3}}{6}.\)

D. \(\frac{2\sqrt{39}}{13}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248917

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AB \(\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz,\) với \(H\left( 0;0;0 \right),\,\,S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\,\,A\left( -\frac{1}{2};0;0 \right);\,\,B\left( \frac{1}{2};0;0 \right);\,\,C\left( \frac{1}{2};1;0 \right),\,\,D\left( -\frac{1}{2};1;0 \right)\)

Gọi \({{\overrightarrow{n}}_{1}};{{\overrightarrow{n}}_{2}}\) lần lượt là các VTPT của mặt phẳng \(\left( GMN \right);\left( ABCD \right)\Rightarrow \cos \left( \left( GMN \right);\left( ABCD \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\)

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của \(AB.\) Vì \(\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\)\( \Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)

Khi đó \(G\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{6} \right),\,\,M\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{4} \right),\,\,N\left( -\,\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{GM}=\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{12} \right);\,\,\overrightarrow{MN}=\left( -\frac{1}{2};0;0 \right) \\ & \Rightarrow \,\,{{{\vec{n}}}_{1}}={{{\vec{n}}}_{\left( GMN \right)}}=\left[\overrightarrow{GM};\overrightarrow{MN} \right]=\left( 0;-\frac{\sqrt{3}}{24};\frac{1}{4} \right). \\ \end{align}\)

Và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({{\vec{n}}_{2}}={{\vec{n}}_{\left( ABCD \right)}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).\)

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( GMN \right),\,\,\left( ABCD \right)\) là \(\cos \alpha =\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}.{{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}=\frac{2\sqrt{39}}{13}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.