Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0\) và đường thẳng \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}\). Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn \(\widehat{AMB}={{60}^{0}};\,\,\widehat{BMC}={{90}^{0}};\,\widehat{CMA}={{120}^{0}}\) có dạng \(M\left( a;b;c \right)\) với \(a<0\). Tổng \(a+b+c\) bằng:

Câu 249332: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0\) và đường thẳng \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}\). Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn \(\widehat{AMB}={{60}^{0}};\,\,\widehat{BMC}={{90}^{0}};\,\widehat{CMA}={{120}^{0}}\) có dạng \(M\left( a;b;c \right)\) với \(a<0\). Tổng \(a+b+c\) bằng:

A. 2

B. -2

C. 1

D. \(\frac{10}{3}\)

Câu hỏi : 249332

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính độ dài đoạn thẳng IM với I là tâm mặt cầu.

Tham số hóa tọa độ điểm M, sau đó dựa vào độ dài IM để tìm điểm M.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;2;-3 \right)\), bán kính \(R=3\sqrt{3}\)

Đặt \(MA=MB=MC=a\).

Tam giác \(MAB\) đều \(\Rightarrow AB=a\)

Tam giác \(MBC\) vuông tại M \(\Rightarrow BC=a\sqrt{2}\)

Tam giác \(MCA\) có \(\widehat{CMA}={{120}^{0}}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B \(\Rightarrow \Delta ABC\) ngoại tiếp đường tròn nhỏ có đường kính \(AC\)\(\Rightarrow HA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác vuông \(IAM\) có:

\(\frac{1}{H{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{I{{A}^{2}}}\Rightarrow \frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{27}\Leftrightarrow \frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{1}{27}\Leftrightarrow a=3=MA\)

\(\Rightarrow I{{M}^{2}}=M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}={{3}^{2}}+27=36\)

\(\begin{array}{l}
M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + t; - 2 + t;1 + t} \right) \Leftrightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\
\Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = \frac{4}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M\left( { - 1; - 2;1} \right)\\
M\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = - 2\\
c = 1
\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - 2
\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.