Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số bậc ba

Câu hỏi số 250207:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số bậc ba \(y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2\) đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\,\infty \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250207

Phương pháp giải

Tính đạo hàm, sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng

Giải chi tiết

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( 2;+\,\infty \right)\)\(\Leftrightarrow \,\,{y}'\ge 0;\,\,\forall x>2\)\(\Leftrightarrow \,\,3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\ge 0.\)

\(\Leftrightarrow \,\,3{{x}^{2}}-6x+5\ge 12m\left( x-1 \right)\Leftrightarrow \,\,12m\le f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1};\,\,\forall x>2\Leftrightarrow \,\,12m\le \underset{\left[ 2;+\,\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+5}{x-1}\) trên \(\left[ 2;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-6x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\,\forall x\ge 2.\)

Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 2;+\,\infty \right)\)\(\Rightarrow \,\,\)\(\underset{\left[ 2;+\,\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=5.\)

Vậy \(12m\le 5\Leftrightarrow m\le \frac{5}{12},\) kết hợp với \(m\in {{\mathbb{Z}}^{\,+}}\)\(\Rightarrow \) Không có giá trị nào của \(m.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.