Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và đường thẳng

Câu hỏi số 250231:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-\,2}=\dfrac{z-1}{9}.\) Biết đường thẳng \(\Delta \) qua \(A,\) cắt \(d\) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến \(\Delta \) nhỏ nhất, \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\left( 1;a;b \right).\) Tổng \(a+b\) là

\(\dfrac{86}{5}.\)

\(-\dfrac{86}{5}.\)

\(17.\)

D. \(-\,17.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250231

Phương pháp giải

Dựng hình, đưa về bài toán tìm điểm để khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhỏ nhất

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) đi qua \(B\left( 1;0;1 \right),\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}=\left( 1;-\,2;9 \right)\)\(\Rightarrow \,\,\left[ \overrightarrow{AB};\vec{u} \right]=\left( 9;0;-\,1 \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và đi qua \(A\) là \(\left( \alpha \right):9x-z-8=0.\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\Delta ,\) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( \alpha \right).\)

Ta có \(d\left( O;\left( \Delta \right) \right)=OI\le OH\Rightarrow \,\,{{d}_{\min }}=OH\)\(\Leftrightarrow \)\(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( \alpha \right).\)

Phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ \begin{align} x=9t \\ y=0 \\ z=-\,t \\ \end{align} \right.\) \(\Rightarrow \,\,H\left( 9t;0;-\,t \right)\in \left( \alpha \right)\) \(\Rightarrow t=\dfrac{4}{41}.\)

Vậy \(H\left( \frac{36}{41};0;-\,\frac{4}{41} \right)\Rightarrow \overrightarrow{HA}=\left( \dfrac{5}{41};1;\dfrac{45}{41} \right)=\dfrac{5}{41}\left( 1;\dfrac{41}{5};9 \right)\Rightarrow \left\{\begin{align} a=\frac{41}{5} \\ b=9 \\ \end{align} \right..\)

\(\Rightarrow a+b=\dfrac{41}{5}+9=\dfrac{86}{5}.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.