Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+m+1.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số

Câu hỏi số 250398:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+m+1.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.

\(m=0.\)

\(m=-\,\frac{1}{2}.\)

\(m=1.\)

D. \(m=\frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250398

Phương pháp giải

Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác

Giải chi tiết

TXĐ : \(D=R\)

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-4\left( 1-{{m}^{2}} \right)x;\,\,\forall x\in R.\)

Phương trình \({y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ {{x}^{2}}=1-{{m}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow \,\,\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(1-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -1<m<1.\)

Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0\Rightarrow y=m+1 \\ x=\sqrt{1-{{m}^{2}}}\Rightarrow y=-{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \\ x=-\sqrt{1-{{m}^{2}}}\Rightarrow y=-{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \\ \end{align} \right.\)

Gọi \(A\left( 0;m+1 \right),\,\,B\left( \sqrt{1-{{m}^{2}}};-\,{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \right),\,\,C\left( -\,\sqrt{1-{{m}^{2}}};-\,{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \right)\) là ba điểm cực trị. Tam giác \(ABC\) cân tại A.

Trung điểm \(H\) của \(BC\) là \(H\left( 0;-{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+m+1 \right)\Rightarrow \,\,AH={{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}\)

Và \(BC=2\sqrt{1-{{m}^{2}}}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AH.BC={{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}\sqrt{1-{{m}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{5}}}\)

Mà \(1-{{m}^{2}}\le 1;\,\,\forall m\in R\) suy ra \(\sqrt{{{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{5}}}\le 1\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}\le 1.\)

Vậy \({{S}_{\max }}=1.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(m=0.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.