Cho hai số thực \(x,\text{ }y\) thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\). Tập giá trị của

Câu hỏi số 250926:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,\text{ }y\) thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\). Tập giá trị của biểu thức

\(S=x+y\) là:

\(\left[ -1;7 \right]\).

\(\left[ 3;7 \right]\)

\(\left[ 3;7 \right]\cup \left\{ -1 \right\}\)

D. \(\left[ -\,7;7 \right]\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250926

Phương pháp giải

Sử dụng các đánh giá qua bất đẳng thức Cosi và bình phương hai vế

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} x\ge 2 \\ y\ge -3 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(x+y+1\ge 0\).

● Ta có \(\begin{align} x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\, \\ =2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+3}\le \frac{4+x-2}{2}+\frac{4+y+3}{2}=\frac{x+y+9}{2} \\ \end{align}\).

Suy ra \(x+y+1\le \frac{x+y+9}{2}\Leftrightarrow x+y\le 7\).

● Lại có \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x+y+1 \right)}^{2}}=4\left( x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3} \right)\ge 4\left( x+y+1 \right)\) (do \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\ge 0\))

Suy ra \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 \le 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = - 1\\x + y \ge 3\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow \left( x+y \right)\in \left[ 3;7 \right]\cup \left\{ -1 \right\}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10