Cho hai số thực \(x,\text{ }y\) thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\). Tập giá trị của

Câu hỏi số 250926:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,\text{ }y\) thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\). Tập giá trị của biểu thức

\(S=x+y\) là:

\(\left[ -1;7 \right]\).

\(\left[ 3;7 \right]\)

\(\left[ 3;7 \right]\cup \left\{ -1 \right\}\)

D. \(\left[ -\,7;7 \right]\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250926

Phương pháp giải

Sử dụng các đánh giá qua bất đẳng thức Cosi và bình phương hai vế

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} x\ge 2 \\ y\ge -3 \\ \end{align} \right.\), suy ra \(x+y+1\ge 0\).

● Ta có \(\begin{align} x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\, \\ =2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+3}\le \frac{4+x-2}{2}+\frac{4+y+3}{2}=\frac{x+y+9}{2} \\ \end{align}\).

Suy ra \(x+y+1\le \frac{x+y+9}{2}\Leftrightarrow x+y\le 7\).

● Lại có \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x+y+1 \right)}^{2}}=4\left( x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3} \right)\ge 4\left( x+y+1 \right)\) (do \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\ge 0\))

Suy ra \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 \le 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = - 1\\x + y \ge 3\end{array} \right..\)

\(\Rightarrow \left( x+y \right)\in \left[ 3;7 \right]\cup \left\{ -1 \right\}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.