Cho x, y là 2 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 251334:

Vận dụng cao

Cho x, y là 2 số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}\)

\(2\sqrt{2}\)

B. \(2\sqrt{5}\)

C. \(7\sqrt{2}\)

D. \(2\sqrt{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251334

Phương pháp giải

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số không âm \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

+) Bài toán này ta sử dụng BĐT

Giải chi tiết

Áp dụng 2 lần bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương, ta có

\(\begin{align} & A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}\ge \sqrt{2.x.\frac{1}{y}}+\sqrt{2.y.\frac{1}{x}} \\ & =\sqrt{2}\left( \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}} \right)\ge \sqrt{2}.2\sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}}.\sqrt{\frac{y}{x}}}=2\sqrt{2} \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{y}>0 \\ & y=\frac{1}{x}>0 \\ & \sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{y}{x}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy GTNN của A là \(2\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = 1

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link