Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt{6}\).

Câu hỏi số 251963:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( AB'C \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Tính thể tích V của khối đa diện \(AB'CA'C'\).

\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)

\(\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)

D. \({{a}^{3}}\sqrt{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251963

Phương pháp giải

+) Kẻ \(AD\bot B'C\), xác định góc giữa mặt phẳng \(\left( AB'C \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\).

+) Tính BB’.

+) Tính thể tích khối lăng trụ và suy ra thế tích \(AB'CA'C'\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của BC ta có

\(AH\bot BC\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AH\bot B'C\)

Trong \(\left( AB'C \right)\) kẻ \(AD\bot B'C\)

\(\Rightarrow B'C\bot \left( AHD \right)\Rightarrow B'C\bot HD\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{align} \left( AB'C \right)\cap \left( BCC'B' \right)=B'C \\ \left( AB'C \right)\supset AD\bot B'C \\ \left( BCC'B' \right)\supset HD\bot B'C \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( AB'C \right);\left( BCC'B' \right) \right)}=\widehat{\left( AD;HD \right)}=\widehat{ADH}\) Ta có \(AH=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow HD=AH.\cot 60=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Dễ thấy \(\Delta CBB'\) đồng dạng với \(\Delta CDH\) (g.g)

\(\Rightarrow \frac{BB'}{HD}=\frac{CB'}{CH}\Rightarrow \frac{BB'}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6{{a}^{2}}+BB{{'}^{2}}}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}\Leftrightarrow \sqrt{3}BB'=\sqrt{6{{a}^{2}}+BB{{'}^{2}}}\Leftrightarrow 2BB{{'}^{2}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow BB'=a\sqrt{3}\)

Ta có : \(AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\)

\(\begin{align} \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=BB'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{3{{a}^{2}}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2} \\ {{V}_{AB'CA'C'}}+{{V}_{B'.ABC}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}\Rightarrow {{V}_{AB'CA'C'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{B'.ABC}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-\frac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}} \\ \Rightarrow {{V}_{AB'CA'C'}}=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{3} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.