Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình chữ nhật, \(AB=a;AD=2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại S và nằm trong

Câu hỏi số 251980:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình chữ nhật, \(AB=a;AD=2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{45}^{0}}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).

\(d=\frac{a\sqrt{1315}}{89}\)

\(d=\frac{2a\sqrt{1315}}{89}\)

\(d=\frac{2a\sqrt{1513}}{89}\)

D. \(d=\frac{a\sqrt{1513}}{89}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251980

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách từ M đến (SAC) về khoảng cách từ H đến (SAC).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\)

Ta có \(\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;HC \right)}=\widehat{SCH}={{45}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta SHC\) vuông cân tại H \(\Rightarrow SH=HC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(d\left( M;\left( SAC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( D;\left( SAC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( B;\left( SAC \right) \right)=d\left( H;\left( SAC \right) \right)\)

Trong \(\left( ABD \right)\) kẻ \(HI\bot AC\), trong \(\left( SHI \right)\) kẻ \(HK\bot SI\) ta có:

\(\left\{ \begin{align} AC\bot HI \\ AC\bot SH \\\end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AC\bot HK\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HK\)

Ta có \(\Rightarrow \Delta AHI\backsim \Delta ACB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{HI}{BC}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow HI=\frac{2a.\frac{a}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{\frac{17{{a}^{2}}}{4}}+\frac{1}{\frac{{{a}^{2}}}{5}}=\frac{89}{17{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{17}}{\sqrt{89}}=\frac{a\sqrt{1513}}{89}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.