Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2\) và

Câu hỏi số 251981:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1-i \right|=2\) và \({{z}_{2}}=i{{z}_{1}}\). Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\).

\(m=2\)

\(m=2\sqrt{2}+2\)

\(m=2\sqrt{2}\)

D. \(m=\sqrt{2}+1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251981

Phương pháp giải

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi\,\,\left( a;b\in R \right)\)

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{1}} \right|=\left| \left( 1-i \right){{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\), tìm GTLN của \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

Giải chi tiết

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi\,\,\left( a;b\in R \right)\)

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{1}} \right|=\left| \left( 1-i \right){{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\begin{align} \left| a+bi+1-i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( a-b \right)=2 \\ \Rightarrow 2\left( a-b \right)=2-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ \Rightarrow 4{{\left( a-b \right)}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4 \\ \end{align}\)

Ta có : \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab\ge 0\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{\left( a-b \right)}^{2}}\)

\(\begin{align} \Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4\le 8\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ \Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-12\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4\le 0 \\ \Rightarrow 6-4\sqrt{2}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 6+4\sqrt{2} \\ \Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 2+\sqrt{2} \\ \Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 2\sqrt{2}+2 \\ \end{align}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.