Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 252517:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1;\,\,\,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=9\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)dx}=\frac{1}{2}\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\) bằng :

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{7}{4}\)

\(\frac{2}{3}\)

D. \(\frac{6}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252517

Phương pháp giải

Đối với tích \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)\,\text{d}x}\), sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Tìm k để \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{4}} \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0\)

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}\left( \frac{{{x}^{4}}}{4} \right)}=\left. \frac{{{x}^{4}}.f\left( x \right)}{4} \right|_{0}^{1}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{f\left( 1 \right)}{4}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}\)

Mà \(f\left( 1 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\) suy ra \(\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=-\,1.\)

Xét \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{4}} \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}+2k.\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}+{{k}^{2}}.\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{8}}\,\text{d}x}=9-2k+\frac{{{k}^{2}}}{9}=0\Rightarrow k=9.\)

Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right)+9{{x}^{4}} \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}=0\Rightarrow {f}'\left( x \right)+9{{x}^{4}}=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-\,9{{x}^{4}}\)\(\Rightarrow \,\,f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}=-\frac{9{{x}^{5}}}{5}+C.\)

Mặt khác \(f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C-\frac{9}{5}=1\Leftrightarrow C=\frac{14}{5}.\) Vậy \(f\left( x \right)=-\frac{9{{x}^{5}}}{5}+\frac{14}{5}\)\(\Rightarrow \,\,\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{5}{2}.\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.