Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O. Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và

Câu hỏi số 252569:

Vận dụng

Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O. Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và M. Biết góc \(\widehat{AOM}={{60}^{0}}\), góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAM) và (OAM) có số đo bằng \({{30}^{0}}\) và khoảng cách từ O đến (SAM) bằng 2. Khi đó thể tích khối nón là:

A. \(\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi \).

B. \(\frac{256\sqrt{3}}{9}\pi \).

C. \(\frac{256\sqrt{3}}{27}\pi \).

D. \(\frac{32\sqrt{3}}{9}\pi \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252569

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a=\left( \alpha \right)\cap \left( \gamma \right),b=\left( \beta \right)\cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( \widehat{\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right)=\left( \widehat{a;b} \right)\)

Giải chi tiết

Kẻ \(OH\bot AM,\,\,H\in AM,\,\,\,\,\,OK\bot SH,\,\,K\in SH\)

Vì \(\left\{ \begin{align} AM\bot SO \\ AM\bot OH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AM\bot (SOH)\Rightarrow AM\bot OK\)

Mà \(OK\bot SH\Rightarrow OK\bot (SAM)\Rightarrow d(O,(SAM))=OK=2\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} (SAM)\cap (OAM)=AM \\ AM\bot (SOH) \\ \end{align} \right.\) (vì \(AM\bot OH,\,\,AM\bot SO\))

Mà \((SOH)\cap (OAM)=OH,\,\,(SOH)\cap (SAM)=SH\)

\(\Rightarrow \left( \widehat{(SAM),(OAM)} \right)=\left( \widehat{SH,OH} \right)=\widehat{SHO}={{30}^{0}}\)

Tam giác OHK vuông tại K \(\Rightarrow OH=\frac{OK}{\sin \widehat{H}}=\frac{2}{\sin {{30}^{0}}}=4\)

Tam giác SOH vuông tại O \(\Rightarrow SO=OH.\tan \widehat{H}=4.\tan {{30}^{0}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

Tam giác OAM cân tại O, \(\widehat{AOM}={{60}^{0}}\), \(OH\bot AM\Rightarrow \widehat{HOM}=\frac{\widehat{AOM}}{2}=\frac{{{60}^{0}}}{2}={{30}^{0}}\)

Tam giác OHM vuông tại H \(\Rightarrow OM=\frac{OH}{\cos \widehat{HOM}}=\frac{4}{\cos {{30}^{0}}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\)

Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .O{{M}^{2}}.SO=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{8}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{256\sqrt{3}\pi }{27}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.