Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{u}_{n}}={{u}_{n\,-\,1}}+6,\,\,\forall n\ge 2\) và \({{\log

Câu hỏi số 252879:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \({{u}_{n}}={{u}_{n\,-\,1}}+6,\,\,\forall n\ge 2\) và \({{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{{{u}_{9}}+8}=11.\) Đặt \({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\,\,...\,\,+{{u}_{n}}.\) Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn \({{S}_{n}}\ge 20172018.\)

A. 2587.

B. 2590.

C. 2593.

D. 2584.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252879

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng và tổng cấp số cộng.

Giải chi tiết

Điều kiện :\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} > 0\\
{u_9} + 8 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 4d > 0\\
{u_1} + 8d + 8 > 0
\end{array} \right..\)

Ta có \({{u}_{n}}={{u}_{n\,-\,1}}+6,\,\,\forall n\ge 2\)\(\Rightarrow \,\,\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=6.\)

Lại có : \({{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{{{u}_{9}}+8}=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{u}_{5}}+{{\log }_{2}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right) \right]=11\) \(\Leftrightarrow {{u}_{5}}\left( {{u}_{9}}+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+4d \right)\left( {{u}_{1}}+8d+8 \right)={{2}^{11}}\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+24 \right)\left( {{u}_{1}}+56 \right)=2048\) \(\Leftrightarrow u_{1}^{2}+80{{u}_{1}}-704=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{u}_{1}}=8\ \ \left( tm \right) \\ & {{u}_{1}}=-88\ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right..\)

Do đó \({{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\,\,...\,\,+{{u}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=\frac{n\left( 16+6\left( n-1 \right) \right)}{2}=3{{n}^{2}}+5n.\)

Vậy \({{S}_{n}}\ge 20172018\Leftrightarrow 3{{n}^{2}}+5n-20172018\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n\ge 2592,234 \\ & n\le -2593,9\ \ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{n}_{\min }}=2593.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.