Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1.\) Gọi \(S\) là tập hợp

Câu hỏi số 252880:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1.\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập \(S.\)

A. 1

B. 2

C. 6

D. 0

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252880

Phương pháp giải

Tính đạo hàm, biện luận phương trình để hàm số có cực tiểu

Giải chi tiết

Xét \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1,\) có \({f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Phương trình \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\)

Vì hệ số \(a=1>0\) nên để hàm số có thể có 2 cực tiểu và 1 cực đại \(\Rightarrow \) hàm số có 1 cực tiểu mà không có cực đại

TH1: \(\Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,{{{\Delta }'}_{\left( * \right)}}<0\)

\(\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-6m-6<0\Leftrightarrow \,\,\frac{1-\sqrt{7}}{3}<m<\frac{1+\sqrt{7}}{3}\Leftrightarrow -0,55<m<1,2.\)

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z},\) ta được \(m=\left\{ 0;\,\,1, -1 \right\}\Rightarrow \,\,\sum{m}=0.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.