Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1.\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập \(S.\)

Câu 252880: Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1.\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các phần tử của tập \(S.\)

A. 1

B. 2

C. 6

D. 0

Câu hỏi : 252880

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, biện luận phương trình để hàm số có cực tiểu

Đáp án : D
(25) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1,\) có \({f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6\left( m+1 \right)x;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Phương trình \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\)

Vì hệ số \(a=1>0\) nên để hàm số có thể có 2 cực tiểu và 1 cực đại \(\Rightarrow \) hàm số có 1 cực tiểu mà không có cực đại

TH1: \(\Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,{{{\Delta }'}_{\left( * \right)}}<0\)

\(\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-6m-6<0\Leftrightarrow \,\,\frac{1-\sqrt{7}}{3}<m<\frac{1+\sqrt{7}}{3}\Leftrightarrow -0,55<m<1,2.\)

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z},\) ta được \(m=\left\{ 0;\,\,1, -1 \right\}\Rightarrow \,\,\sum{m}=0.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.