Giả sử \({{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+...+{{x}^{10}}

Câu hỏi số 254610:

Vận dụng cao

Giả sử \({{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+...+{{x}^{10}} \right)}^{11}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{3}}{{x}^{3}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}}\), với \({{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{110}}\) là các hệ số. Giá trị của tổng \(T=C_{11}^{0}{{a}_{11}}-C_{11}^{1}{{a}_{10}}+C_{11}^{2}{{a}_{9}}-C_{11}^{3}{{a}_{8}}+...+C_{11}^{10}{{a}_{1}}-C_{11}^{11}{{a}_{0}}\) bằng

\(T=-11.\)

\(T=11.\)

\(T=0.\)

D. \(T=1.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254610

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân tính \(1+x+..+{{x}^{10}}\).

+) Quy đồng, bỏ mẫu, khai triển nhị thức Newton hai vế của phương trình.

+) Tìm hệ số của \({{x}^{11}}\) ở hai vế và cho chúng bằng nhau.

Giải chi tiết

\(\begin{align} {{\left( 1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{10}} \right)}^{11}}={{\left( \frac{{{x}^{11}}-1}{x-1} \right)}^{11}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}} \\ \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{11}}-1 \right)}^{11}}=\left( {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}} \right){{\left( x-1 \right)}^{11}} \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{x}^{11k}}{{\left( -1 \right)}^{11-k}}}=\left( {{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{110}}{{x}^{110}} \right).\sum\limits_{m=0}^{11}{C_{11}^{m}.{{x}^{m}}.{{\left( -1 \right)}^{11-k}}} \\ \end{align}\)

Hệ số của \({{x}^{11}}\) ở VT là \(C_{11}^{1}{{\left( -1 \right)}^{10}}=C_{11}^{1}=11\)

Hệ số của \({{x}^{11}}\) ở VP là

\(\begin{align} \,\,\,{{a}_{0}}.C_{11}^{11}{{\left( -1 \right)}^{0}}+{{a}_{1}}.C_{11}^{10}.{{\left( -1 \right)}^{1}}+{{a}_{2}}.C_{11}^{9}.{{\left( -1 \right)}^{2}}+...+{{a}_{10}}.C_{11}^{1}.{{\left( -1 \right)}^{10}}+{{a}_{11}}.C_{11}^{0}{{\left( -1 \right)}^{11}} \\ ={{a}_{0}}.C_{11}^{11}-{{a}_{1}}.C_{11}^{10}+{{a}_{2}}.C_{11}^{9}+...+{{a}_{10}}.C_{11}^{1}-{{a}_{11}}.C_{11}^{0} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{a}_{0}}.C_{11}^{11}-{{a}_{1}}.C_{11}^{10}+{{a}_{2}}.C_{11}^{9}+...+{{a}_{10}}.C_{11}^{1}-{{a}_{11}}.C_{11}^{0}=11=-T\Rightarrow T=-11\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.